马路道牙子边上的铁护栏由市政公用工程管理部门负责管理。理由如下:依据市政公用工程管理办法，城市道路、照明、绿化、园林景观等工程设施属于市政公用工程管理部门管理范围，而马路道牙边上的铁护栏属于市政道路人行道与绿化带之间的分隔设施，也是市政道路的附属设施。